问题
解答题
已知定义域为R的函数f(x)=
（1）求a，b的值； （2）讨论函数y=f（x）的单调性； （3）若对任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围． |
答案
方法一：
（1）由定义在R上的函数f(x)=
是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立3x+b 3x+a
即
+3x+b 3x+a
=0 即3-x+b 3-x+a
+3x+b 3x+a
=0，b•3x+1 1+a•3x
整理得（a+b）（3x）2+（ab+1）3x+a+b=0对任意x∈R恒成立，
故
，解得a+b=0 ab+1=0
或a=1 b=-1
，a=-1 b=1
又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．
方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时f(x)=
，3x-1 3x+a
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时f(x)=
，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．3x-1 3x+1
（2）由f(x)=
得f′(x)=3x-1 3x+1
=3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3 (3x+1)2
＞0恒成立，2•3xln3 (3x+1)2
故函数y=f（x）在R上为增函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数
由f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0得f（2t2+4t）＜-f（k-t2）2t2+4t＜t2-k（12分）-k＞t2+4t=（t+2）2-4对一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）2-4}max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．