由题意，∵双曲线的渐近线方程为y=±

1

2

x，且两顶点之间的距离为4，

（1）当双曲线的焦点在y轴上

设双曲线的方程为：y²-

1

4

x²=k（k＞0）

两顶点之间的距离为4，∴2

k

=4，k=4

∴双曲线的方程为：

y2

4

-

x2

16

=1；

（2）当双曲线的焦点在x轴上

设双曲线的方程为：

1

4

x²-y²=k（k＞0）

两顶点之间的距离为4，∴2×2

k

=4，k=1，

∴双曲线的方程为：

x2

4

-y2=1；

故答案为：

x2

4

-y2=1或

y2

4

-

x2

16

=1．