问题
解答题
已知双曲线C的方程为x2-
（1）用λ的解析式表示mn； （2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围． |
答案
（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，-2n），设P（x，y）
由
=λ•AP
，得PB
，故P点的坐标为（x= m+λn 1+λ y= 2m-2λn 1+λ
，m+λn 1+λ
），…（3分）2(m-λn) 1+λ
将P点的坐标代入x2-
=1，化简得，mn=y2 4
．…（3分）(1+λ)2 4λ
（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=
．…（1分）4 5
又|OA|=
m，|OB|=5
n，5
所以S△AOB=
|OA||OB|sin2θ=2mn=1 2
•1 2
=(1+λ)2 λ
(λ+1 2
)+1，…（3分）1 λ
记S（λ）=
(λ+1 2
)+1，λ∈[1 λ
，3]）．1 2
则S（λ）在λ∈[
，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．…（2分）1 2
所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值
．8 3
所以△AOB面积的取值范围是[2，
]．…（2分）8 3