（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m²-7m=x|x-1|-6．

不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，

①当x≥1时，不等式转化为x²-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2

因为x≤-2不满足x≥1，所以此时x≥3

②当x＜1时，不等式转化为-x²+x-6≥0，不等式的解集是空集

综上所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；

（2）g（x）=xf（x）+m²-7m=

(x- m 2 )2+ 3 4 m2-7m       x≥m -(x- m 2 )2+ 5 4 m2-7m      x＜m

∴当m＞0时，g（x）在区间（-∞，

m

2

）和（m，+∞）上是增函数；（

m

2

，m）上是减函数；

当m＜0时，g（x）在区间（-∞，m）和（

m

2

，+∞）上是增函数；（m，

m

2

）上是减函数；

当m=0时，g（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．

∵定义域为x∈[3，+∞），

∴①当m≤3时，g（x）在区间[3，+∞）上是增函数，得g（x）的最小值为g（3）=m²-10m+9；

②当m＞3时，因为g（0）=g（m）=m²-7m，结合函数g（x）的单调性，得g（3）＞g（m）

∴g（x）的最小值为g（m）=m²-7m．

综上所述，得g（x）的最小值为

m2-10m+9      m≤3 m2-7m            m＞3

；

（3）f（x）=

x-m      x≥m m-x      x＜m

，

因为x∈（-∞，4]，所以当m＜4时，f（x）的最小值为f（m）=0；

当m≥4时，f（x）的最小值为f（4）=m-4．

由题意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，结合（2）得

①当m≤3时，由0＞m²-10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；

②当3＜m＜4时，由0＞m²-7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；

③当m≥4时，由m-4＞m²-7m，得4-2

3

＜m＜4+2

3

，故4≤mm＜4+2

3

．

综上所述，实数m的取值范围是（1，4+2

3

）