取双曲线

x2

a2

-y2=1的虚轴端点B（1，0）与焦点F（

a2+1

，0），则BP的中点坐标的横坐标x0=

1+ a2+1

2

，

∵BP的中点在双曲线的准线x=

a2

a2+1

上，∴

1+ a2+1

2

=

a2

a2+1

．解得a²=3．

∵PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦，

∴可设P(x0，

3

3

x0)  ，Q(x0，-

3

3

x0)，则

OP

•

OQ

=x02-

1

3

x02=

2

3

x02．

故选D．