设A，B，AB-E都是n阶可逆矩阵，则[(A-B-1)-1-A-1]-1等于____

问题填空题

设A，B，AB-E都是n阶可逆矩阵，则[(A-B^-1)^-1-A^-1]^-1等于______.

答案

参考答案：(AB-E)A

解析：[考点] 抽象可逆矩阵求逆矩阵
|A-B^-1|=|ABB^-1-B^-1=|(AB-E)B^-1|=|AB-E|·|B^-1|≠0.
故A-B^-1可逆，而
(A-B^-1)^-1-A^-1=(A-B^-1)^-1-(A-B^-1)^-1(A-B^-1)A^-1
=(A-B^-1)^-1[E-(A-B^-1)A^-1].
=(A-B^-1)^-1(E-E+B^-1A^-1)
=[AB(A-B^-1)]^-1=(ABA-A)^-1，
从而[(A-B^-1)^-1-A^-1]^-1=ABA-A=(AB-E)A.