问题
问答题
已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=-2α1+3α3．
(Ⅰ) 求矩阵A的特征值；
(Ⅱ) 求矩阵A的特征向量；
(Ⅲ) 求矩阵A*-6E的秩．
答案
参考答案：(Ⅰ) 据已知条件，有
[*]
记[*]及P1=(α1，α2，α3)，那么由α1，α2，α3线性无关知矩阵P1可逆，且[*]，即A与B相似．
由矩阵B的特征多项式
[*]
得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3．
(Ⅱ) 由(E-B)x=0得基础解系β1=(1，1，1)T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，由(2E-B)x=0得基础解系β2=(2，3，3)T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E-B)x=0得基础解系β3=(1，3，4)T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，那么令P2=(β1，β2，β3)，则有[*]，于是令
[*]
则有[*]
所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k1(α1+α2+α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)．
(Ⅲ) 由[*]及|A|=6知，[*]
从而[*]所以秩 r(A*-6E)=2．
[*]