问题
问答题
设A=(aij)n×n，若任意12维非零列向量都是A的特征向量，请证明：A为数量矩阵，即存在常数k，使A=kE．
答案
参考答案：本题是考查特征值与特征向量的综合题，对概念和逻辑的要求较高，是一道比较新颖的综合题．
由题设，任意n维非零列向量都是A的特征向量，故n维单位向量
[*]
都是A的特征向量，因此存在常数λj为对应的特征值，使得
Aej=λjej(j=1，2，…，n)，
即
[*]
于是得aij=0(i≠j；i，j=1，2，…，n)，aij=λj(j=1，2，…，n)，即A为对角矩阵
[*]
又由于i≠j时，[*]也是A的特征向量．故存在常数k为对应的特征值，
使得A(ei+ej)=k(ei+ej)，即Aei+Aej=kei+kej，于是由
Aej=Ajej(j=1，2，…，n)，λiei+λjej=kei+kej[*](λi-k)ei+(λj-k)ej=0，而ei，ej线性无关，得λi=k(i=1，2，…，n)，故[*]，即A为数量矩阵．