问题 选择题
函数f(a)=(3m-1)a+b-2m,当m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1恒成立,则
9a2+b2
ab
的最大值与最小值之和为(  )
A.18B.16C.14D.
49
4
答案

令g(m)=(3a-2)m+b-a. 由题意当m∈[0,1]时,0≤f(a)≤1可得,

0≤g(0)≤1
0≤g(1)≤1

∴0≤b-a≤1,0≤2a+b-2≤1.  即 a≤b≤1+a ①,2≤2a+b≤3  ②.

把(a,b)看作点画出可行域,由斜率模型可得  1≤

b
a
≤4.

9a2+b2
ab
=
b
a
+
9a
b
,令
b
a
=x
,则 1≤x≤3,∵y=
9
x
+x 在[1,3]上单调递减,在[3,4]上单调递增,

∴x=3时,y有最小值为 6,而 x=1时,y=10;x=4时,y=6.25.

故当 x=1时,y 有最大值是10. 故最大值与最小值的和为16.

故选:B.

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