（Ⅰ）由f(x)=loga

bx+1

x-1

，f(-x)=loga

-bx+1

-x-1

=loga

bx-1

x+1

f(x)+f(-x)=loga

bx+1

x-1

+loga

bx-1

x+1

=loga

b2x2-1

x2-1

=0

∴

b2x2-1

x2-1

=1恒成立，b²=1，b=±1经检验b=1

（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，

①当a＞1时

∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

＞0对x∈[2，4]恒成立

∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

则g（x）=-x³+7x²+x-7g′(x)=-3x2+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0

∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15

∴0＜m＜15

②当0＜a＜1时

由x∈[2，4]时，f(x)=loga

x+1

x-1

＞loga

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，

∴

x+1

x-1

＜

m

(x-1)2(7-x)

对x∈[2，4]恒成立

∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立

设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]

由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45

∴m＞45

综上，当a＞1时，0＜m＜15；

当0＜a＜1时，m＞45

（Ⅲ）∵f(2)+f(3)++f(n)=loga3+loga

4

2

+loga

5

3

++loga

n

n-2

+loga

n+1

n-1

=loga(3×

4

2

×

5

3

××

n

n-2

×

n+1

n-1

)=loga

n(n+1)

2

∴af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

当n=2时，

n(n+1)

2

=3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2

当n=3时，

n(n+1)

2

=6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2

当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2

下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2

当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2

h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0n≥4时，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2

∴当n≥4时，af(2)+f(3)++f(n)=

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2．