设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-

1

k

x，

则点A（x₁，y₁）满足

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

故x12=

a2b2

b2-a2k2

，y12=

k2a2b2

b2-a2k2

，

∴|OA|²=x12+y12=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

，同理|OB|²=

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

，

故|OA|²•|OB|²=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

•

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

=

(1+k2)2(a2b2)2

-a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

∵

k2

(k2+1)2

=

1

k2+ 1 k2 +2

≤

1

4

（当且仅当k=±1时，取等号）

∴|OA|²•|OB|²≥

4a4b4

(b2-a2)2

，又b＞a＞0，

故S_△AOB=

1

2

|OA||OB|的最小值为

a2b2

b2-a2

．