问题
解答题
已知函数f(x)=mx-
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根． （Ⅲ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（Ⅰ）m=2时，f(x)=2x-
，f′(x)=2+2 x
，f′(1)=4，切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=4x-4；2 x2
（Ⅱ）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-
-2lnx，h′(x)=1+1 x
-1 x2
=2 x
≥0，(x-1)2 x2
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根；
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-
-2lnx＜2恒成立，也就是m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，m x
又x2-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜
恒成立，2x+2xlnx x2-1
令G(x)=
，只需m小于G（x）的最小值，2x+2xlnx x2-1
由G′(x)=
=(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x (x2-1)2
，-2(x2lnx+lnx+2) (x2+1)2
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=
，4e e2-1
则m的取值范围是(-∞，
)．4e e2-1