参考答案：二次型f的矩阵

由λ=-2是A的特征值，

，得到a=6。
由矩阵A的特征多项式

得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=7，λ₃=-2。
对λ=7，解齐次方程组(7E-A)x=0得基础解系α₁=(1，-2，0)^T，α₂=(1，0，-1)^T
对λ=-2，解齐次方程组(-2E-A)x=0得基础解系α₃=(2，1，2)^T。
因为α₁，α₂不正交，故需Schmidt正交化，有

再单位化，

，则在正交变换x=Qy下，
有x^TAx=y^TAy=7y₁²+7y₂²-2y₃²。
(Ⅱ)条件x₁²+x₂²+x₃²=1，即x^Tx=1，而x^Tx=(Qy)^T(Qy)=y^TQ^TQy=y^Ty，
可知f在条件x₁²+x₂²+x₃²=1的极小值，即f在条件y₁²+y₂²+y₃²=1下的极小值。
由于f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^TAy=7y₁²+7y₂²-2y₃²≥-2(y₁²+y₂²+y₃²)，

(Ⅲ)因为矩阵A的特征值：7，7，-2，所以|A|=-98，那么A^*的特征值为：-14，-14，49，从而A^*+kE的特征值为k-14，k-14，k+49。因此，k＞14时，A^*+kE正定。

解析：[考点] 二次型