问题
问答题
设f(u，v)具有连续偏导数，且f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。
答案
参考答案：由y(x)=e-2xf(x，x)，有y’(x)=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f’1(x，x)+f’2(x，x)]，
又条件f’u(u，v)+f’v(u，v)=sin(u+v)eu+v，
即f’1(u，v)f’2(u，v)=sin(u+v)eu+v，
令u=x，v=x，得f’1(x，x)+f’2(x，x)=sin(2x)e2x，
于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x。
通解为
，
由分部积分公式，可得
，
所以y(x)=
(sin2x-cos2x)+ce-2x。
解析：[考点] 微分方程的解