（1）显然f（x）的定义域是R，关于原点对称．

又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），

∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．

再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），

∴f（-x）=-f（x），

∴f（x）为奇函数．

（2）∵f（-3）=a且f（x）为奇函数，

∴f（3）=-f（-3）=-a．

又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，

∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．

故f（12）=-4a．