双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，

∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=

b

a

x与曲线y=

2x-1

相切，

∴

y= b a x y2=2x-1

有唯一解，∴y²+

2a

b

y+1=0有两相等的实根，

∴△=0，∴(

a

b

)2=1，a=b，

∴c²=a²+b²=2a²，∴c=

2

a

∴e=

2

．

故选A．