定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）＞0，且对任意的x，y∈R，

问题解答题

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）＞0，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（0）的值，并指出函数f（x）在R上的单调性；

（2）求证：函数f（x）为奇函数；

（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意的x∈R恒成立，求实数k的范围．

答案

（1）令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0…（1分）

又f（x）为R上的单调函数

且 f（3）＞0=f（0）…（3分）

所以f（x）为R上的单调增函数…（4分）

（2）由已知，函数f（x）的定义域关于原点对称，

令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）…（6分）

由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x）

所以，函数f（x）为奇函数…（8分）

（3）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2），f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），…（9分）

因为f（x）为R上的单调增函数，…（10分）

所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，k＜-1+3^x+

…（11分）

因上式对于∀x∈R恒成立，

只需k小于-1+3^x+

的最小值，

由于3^x+

≥2

，…（12分）

所以-1+3^x+

≥2

-1，

所以，k＜2

-1…（13分）

故，实数k的取值范围为k＜2

-1…（14分）