（1）设直线A₁S与直线A₂T的交点H的坐标为（x，y），S（x₀，y₀），T（x₀，-y₀）

由A₁、H、S三点共线，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)…③

由A₂、H、T三点共线，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)…④

联立③、④，解得x0=

2

x

，y0=

2 y

x

．

∵S（x₀，y₀）在双曲线上，

∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1．

∴轨迹E的方程为：

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)．

（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，

M（

1

2

，m）（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，

则1+4mk=0，得：k=-

1

4m

．

此时，直线PQ斜率为k₁=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-

1

2

)．

代入椭圆方程消去y，整理得（32m²+1）x²-16m²x+2m²-2=0．

又设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），

则：x3+x4=

16m2

32m2+1

，x3x4=

2m2-2

32m2+1

．

∴

FP

•

FQ

=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x₃x₄-（x₃+x₄）+1+（4mx₃-m）（4mx₄-m）

=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)

2m2-2

32m2+1

-(4m2+1)

16m2

32m2+1

+m2+1

=

-13m2-1

32m2+1

令t=1+32m²，

∵点M(

1

2

，m)在椭圆内，∴

( 1 2 )2

2

+m2＜1，

又∵m≠0，

∴0＜m2＜

7

8

，∴1＜t＜29，

则

FP

•

FQ

=-

13

32

-

19

32t

∈(-1，-

99

232

)．

∴，

FP

•

FQ

的取值范围为(-1，-

99

232

)