问题
选择题
| 设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x3，则下列四个命题： ①f（x）是以4为周期的周期函数． ②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）3． ③f（x）在(
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（ ）
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答案
∵f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4为周期的周期函数．①对
设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1 又∵当-1≤x≤1时，f （x）=x3，
∴f（2-x）=（2-x）3=-f（x）∴f （x）=（2-x）3 ②对
∴f'（x）=-3（2-x）2∴f'（
）=-3 2
=k3 4
又∵f(
)=（2-3 2
）3=3 2
∴f （x）在(1 8
，f(3 2
))处的切线方程为：y-3 2
=-1 8
（x-3 4
）即：3x+4y-5=0．③对3 2
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函数图象的一条对称轴为x=-1，又∵f（x）为奇函数，其图象关于y轴对称
∴f （x）的图象的对称轴中，有x=1，故④对．
故选D．