问题 选择题

下列不等式对任意的x∈(0,+∞)恒成立的是(  )

A.ex>ex

B.x-x2>0

C.sinx>-x+1

D.x>ln(1+x)

答案

当x=1时,ex=ex,故A中ex>ex对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;

当x=1时,x-x2=0,故B中x-x2>0对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;

又∵y=sin在(0,

π
2
)上函数值由0递增到1,

y=-x+1在(0,

π
2
)上函数值由1递减到1-
π
2

故在区间(0,

π
2
)上存在实数x使sinx=-x+1,故C中sinx>-x+1对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;

而∵函数y=x-ln(1+x)的导函数y'=1-

1
x
在x∈(0,+∞)有,y'>0恒成立

故y=x-ln(1+x)在区间(0,+∞)上为增函数,y>y|x=0=0,

故x>ln(1+x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立

故选D

单项选择题
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