问题
选择题
下列不等式对任意的x∈(0,+∞)恒成立的是( )
A.ex>ex
B.x-x2>0
C.sinx>-x+1
D.x>ln(1+x)
答案
当x=1时,ex=ex,故A中ex>ex对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;
当x=1时,x-x2=0,故B中x-x2>0对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;
又∵y=sin在(0,
)上函数值由0递增到1,π 2
y=-x+1在(0,
)上函数值由1递减到1-π 2
,π 2
故在区间(0,
)上存在实数x使sinx=-x+1,故C中sinx>-x+1对任意的x∈(0,+∞)不恒成立;π 2
而∵函数y=x-ln(1+x)的导函数y'=1-
在x∈(0,+∞)有,y'>0恒成立1 x
故y=x-ln(1+x)在区间(0,+∞)上为增函数,y>y|x=0=0,
故x>ln(1+x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立
故选D