（I）设切点P的坐标为(x0，

x

20

+1)，则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…（1分）

因为双曲线E的渐近线y=

b

a

x与抛物线C相切，所以2x0=

b

a

①

又

x

20

+1=

b

a

x0②

由①、②消去x₀得：(

b

2a

)2+1=

b2

2a2

，即b²=4a²，…（3分）

又c²=a²+b²，所以c²-a²=4a²，c²=5a²，

即e2=

c2

a2

=5，e=

5

．…（4分）

由①、②还可得

x

20

+1=2

x

20

，即x₀=±1，

又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分

（II）由（I）得l₁的方程为y=2x，点F的坐标为(

5

a，0)，双曲线E的方程为4x²-y²=4a²．

因为l₁⊥l₂，所以l₂的方程为y=-

1

2

(x-

5

a)．

由

y=- 1 2 (x- 5 a) 4x2-y2=4a2

消去y得：15x2+2

5

ax-21a2=0．

从而xA+xB=-

2 5

15

a，xAxB=-

7

5

a2．

故|AB|=

1+(- 1 2 )2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

5 4

•

(- 2 5 15 a)2+ 28 5 a2

=

8

3

a．…（7分）

由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a-

5

|．…（8分）

所以△PAB的面积S=

4

3

a|a-

5

|=

40

3

．

当0＜a＜5时，a(a-

5

)=10，即a2-

5

a+10=0，无实数解；

当a≥5时，a(a-

5

)=10，即a2-

5

a+10=0，

解得a=2

5

或a=-

5

（舍去）…（11分）

故a=2

5

，b=2a=4

5

，

所以所求方程为

x2

20

-

y2

80

=1．…（12分）