由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为 y=

b

a

x，则另一渐近线OB的方程为 y=-

b

a

x，

设A（m，

bm

a

），B（n，-

bn

a

），∵

AF

=

1

2

FB

，∴（c-m，-

bm

a

）=

1

2

（n-c，-

bn

a

），

∴c-m=

n-c

2

，-

bm

a

=-

bn

2a

，∴m=

3c

4

，n=

3c

2

，

∴A（

3c

4

，

3bc

4a

 ）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即

3bc 4a -0

3c 4 -c

•

3bc 4a

3c 4

=-1，

∴a²=3b²，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2 3

3

，

故选B．