问题
问答题
设A是4阶非零矩阵，α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解．
如果α1，α2，α3，α4线性无关，证明α1-α2，α1-α3，α1-α4是齐次方程组Ax=0的基础解系．
答案
参考答案：由方程组的性质知α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的解．
当k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4)=0时
即(k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0
因为α1，α2，α3，α4线性无关，故[*]
即必有k1=k2=k3=0．从而α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的3个线性无关的解．
那么n-r(A)≥3即r(A)≤1，又A≠0有r(A)≥1，从而r(A)=1．
因此α1-α2，α1-α3，α1-α4是Ax=0的基础解系．