问题 解答题
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右顶点为A(2,0),一条渐近线为y=
1
2
x
,过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q.
(I)求双曲线的方程及k的取值范围;
(II)是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
AB
垂直?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
答案

(I)由题意,a=2,

b
a
=
1
2
,∴b=1

∴双曲线的方程为

x2
4
-y2=1

设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线方程,可得(4k2-1)x2+16kx+20=0

∵过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q

∴4k2-1≠0且△=256k2-80(4k2-1)>0,即k2

1
4
k2
5
4

解得-

5
2
<k<
5
2
且k≠±
1
2

(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=

-16k
4k2-1

OP
+
OQ
=(x1+x2,y1+y2),
AB
=(-2,2),
OP
+
OQ
AB
垂直

∴-2(x1+x2)+2(y1+y2)=0

∴(x1+x2)(k-1)+4=0

-16k(k-1)
4k2-1
+4=0

∴k=

1
4

∴存在常数k=

1
4
,使得向量
OP
+
OQ
AB
垂直.

单项选择题
判断题