问题
解答题
已知双曲线
(I)求双曲线的方程及k的取值范围; (II)是否存在常数k,使得向量
|
答案
(I)由题意,a=2,
=b a
,∴b=11 2
∴双曲线的方程为
-y2=1x2 4
设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线方程,可得(4k2-1)x2+16kx+20=0
∵过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80(4k2-1)>0,即k2≠
且k2<1 4 5 4
解得-
<k<5 2
且k≠±5 2
;1 2
(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
,-16k 4k2-1
∵
+OP
=(x1+x2,y1+y2),OQ
=(-2,2),AB
+OP
与OQ
垂直AB
∴-2(x1+x2)+2(y1+y2)=0
∴(x1+x2)(k-1)+4=0
∴
+4=0-16k(k-1) 4k2-1
∴k=1 4
∴存在常数k=
,使得向量1 4
+OP
与OQ
垂直.AB