问题
问答题
已知随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,X1与X2都在区间(0,1)上服从均匀分布,X3与X4都服从参数为
的0—1分布,记Y=X1+X2+X3X4,求Y的分布函数FY(y)及概率密度fY(y).
答案
参考答案:由题设知X1与X2的概率密度为[*]X3与X4概率分布[*],记Y1=X1+X2,Y2=X3X4,因为Xi相互独立,所以Y1与Y2独立,且Y2的概率分布为
P(Y2=1)=P(X3X4=1)=P(X3=1,X4=1)
[*]
[*]
由于X1与X2的联合密度为
[*]
因此Y1=X1+X2的分布函数
F1(y)=P(X1+X2≤y)
[*]
当y≤0时,F1(y)=0;
当0<y≤1时,[*];
当1<y≤2时,[*]
当2<y时,F1(y)=1.
[*]
综上得,
[*]
因此Y1=X1+X2的概率密度
[*]
由于Y=Y1+Y2,Y1与Y2独立,Y2为离散型随机变量,因而应用全概公式可求得Y的分布函数FY(y),进而求得概率密度是fY(y).
FY(y)=P{Y1+Y2≤y}
=P{Y1+Y2≤y,Y2=0}+P{Y1+Y2≤y,Y2=1}
=P{Y1≤y,Y2=0}+P{Y1≤y-1,Y2=1