问题
问答题
已知随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，X1与X2都在区间(0，1)上服从均匀分布，X3与X4都服从参数为
的0—1分布，记Y=X1+X2+X3X4，求Y的分布函数FY(y)及概率密度fY(y)．
答案
参考答案：由题设知X1与X2的概率密度为[*]X3与X4概率分布[*]，记Y1=X1+X2，Y2=X3X4，因为Xi相互独立，所以Y1与Y2独立，且Y2的概率分布为
P(Y2=1)=P(X3X4=1)=P(X3=1，X4=1)
[*]
[*]
由于X1与X2的联合密度为
[*]
因此Y1=X1+X2的分布函数
F1(y)=P(X1+X2≤y)
[*]
当y≤0时，F1(y)=0；
当0＜y≤1时，[*]；
当1＜y≤2时，[*]
当2＜y时，F1(y)=1．
[*]
综上得，
[*]
因此Y1=X1+X2的概率密度
[*]
由于Y=Y1+Y2，Y1与Y2独立，Y2为离散型随机变量，因而应用全概公式可求得Y的分布函数FY(y)，进而求得概率密度是fY(y)．
FY(y)=P{Y1+Y2≤y}
=P{Y1+Y2≤y，Y2=0}+P{Y1+Y2≤y，Y2=1}
=P{Y1≤y，Y2=0}+P{Y1≤y-1，Y2=1