下列命题正确的是______①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ

问题填空题

下列命题正确的是______
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆

=1(a＞b＞0)的离心率e=

，则b=c(c为半焦距）．
③双曲线

=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

答案

①设动点M（x，y），两定点A（-c，0），B（c，0），（λ＞0且λ≠1，c＞0）．

则

|MA|

|MB|

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=λ，化为[x-

(λ2+1)c

λ2-1

]2+y2=(

2λc

λ2-1

)2，因此点M的轨迹是以(

λ2+1

λ2-1

c，0)为圆心，

2λc

|λ2-1|

为半径的圆．

②∵椭圆的离心率e=

，∴a²=2c²，又a²=b²+c²，∴b²=c²，解得b=c．

③取焦点F₂（c，0），渐近线y=

x，则焦点到渐近线的距离=

|bc|

b2+a2

=b，正确．

④设直线AB的方程：x=my+n，联立

x=my+n

y2=2px

，化为y²-2pmy-2pn=0，

∴y₁y₂=-2pn，y₁+y₂=2pm．

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∵x₁x₂=（my₁+n）（my₂+n）=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2，

∴(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0，

∴-2pn（m²+1）+2pm²n+n²=0，

化为n=2p．

∴y1y2=-2p•2p=-4p2．因此不正确．

综上：只有①②③正确．

故选：C．