问题
解答题
| 对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数． （1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由； （2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围； （3）若F(x)=mx+
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答案
（1）f1（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函数，
存在区间[1，2]使得f1（x）=1，在区间[1，2]外，f1（x）＞1，
f2（x）=x+|x-2|不是“平底型”函数，
∵在（-∞，0]上，f2（x）=2，在（-∞，0]外，f2（x）＞2，（-∞，0]不是闭区间．
（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立
即 f（x）≤|
-1|+|t k
+1|，t k
∵|
-1|+|t k
+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，t k
又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]时，f（x）≤2，故x的范围是[0.5，2.5]．
（3）∵F(x)=mx+
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函数x2+2x+n
x2+2x+n=（mx-c）2
则m2=1，-2mc=2，c2=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情况下，f（x）=
是“平底型”函数；2x+1 x≥-1 -1 -2≤x＜-1
②情况下，f（x）=
不是“平底型”函数；-2x-1 -2≤x≤-1 -1 x＞-1
综上，当m=1，n=1时，为“平底型”函数．
