问题 填空题

已知f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,f(2008)=1,则f(4)=______.

答案

∵f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数

∴f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1)恒成立

∴在f(-x-1)=-f(x-1)中,令t=x-1,则x=t+1,故有f(-t-2)=-f(t)①

在f(-x+1)=f(x+1)中令t=x+1,则有x=t-1,故有f(t)=f(-t+2)②

由①②得-f(-t-2)=f(-t+2)③,

再令m=-t+2,则t=-m+2,代入③得f(m)=-f(m-4)=f(m-8),由此知函数的周期是8

又2008=251×8

故有f(2008)=f(0)=1

由③知f(4)=-f(0)=-1

故答案为-1

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