问题
解答题
已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又f′(
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即c=0 3a+2b+c=0
解得c=0 b=-
a3 2
∴f'（x）=3ax2-3ax，
∴f′(
)=1 2
-3a 4
=3a 2
，3 2
∴a=-2，
∴f（x）=-2x3+3x2．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x3+3x2-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴0≤x≤
或x≥1．1 2
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤
．1 2