解（1）∵f（x）是偶函数，

∴

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，可得2px=0对任意x∈R恒成立，故p=0．…（4分）

（2）由（1）知函数表达式为：f(x)=

3

x2+2

．

设0＜x₁＜x₂＜2，…（6分）

则f(x1)-f(x2)=

3

x12+2

-

3

x22+2

=

3(x2-x1)(x2+x1)

(x12+2)(x22+2)

．…（8分）

∵0＜x₁＜x₂＜2，

∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，且(x12+2)(x22+2)＞0．

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂）

因此，函数f（x）在（0，2）上是单调减函数．…（10分）

（3）由（2）得f（x）在[0，2]上为减函数，

∵f（x）是偶函数，所以f（x）在[-2，0]上为单调增函数．…（12分）

因此，不等式f（1-m）＜f（2m）可化为：2≥|1-m|＞|2m|≥0，

∴4＞（1-m）²＞（2m）²，解之得-1＜m＜

1

3

．

所以满足f（1-m）＜f（2m）的实数m的取值范围是(-1，

1

3

)．…（16分）