问题
问答题
已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，若Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则行列式|A|=______．
答案
参考答案：[解] 利用分块矩阵，有
A[α1，α2，α3]=[α1+α2，α2+α3，α3+α1]两边取行列式，并用行列式乘法公式(1.10)，有
|A||α1，α2，α3|=|α1+α2，α2+α3，α3+α1|
=2|α1+α2+α3，α2+α3，α3+α1|
=2|α1，α2+α3，α3+α1|
=2|α1，α2+α3，α3|=2|α1，α2，α3|
因为α1，α2，α3线性无关，行列式|α1，α2，α3|≠0，从而得|A|=2．或者，
A[α1，α2，α3]=[α1+α2，α2+α3，α3+α1]即[*]
记 P=[α1，α2，α3]，则由α1，α2，α3线性无关，知P是可逆矩阵，从而
[*]
由(1.14)知
[*]
其实由(*)式两边取行列式，即可得上式．
解析：[评注] 在计算抽象行列式时，有可能要用到行列式的性质(如，倍加、提公因数k、拆项、…)来恒等变形化简；有可能用到矩阵的运算、公式、法则来化简变形；也有可能利用特征值，相似来处理．