问题
解答题
已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．
答案
（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-
=1 x
，x-1 x
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．
∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；
（2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥
+3 x
在x∈（0，e]上恒成立，lnx x
令g(x)=
+3 x
，x∈（0，e]，lnx x
则g′(x)=-
+3 x2
=-1-lnx x2
，2+lnx x2
令g′（x）=0，则x=
，1 e2
当0＜x＜
时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，1 e2
当
＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，1 e2
∴g(x)max=g(
)=3e2-2e2=e2，1 e2
∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．