因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），

∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），

∴g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，

∴|f（x）|≤|a2-a+2|对x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，

只要使得定义域内|f（x）|max≤|a²-a+2|min，

由于当x∈[-3，3]时，f（x）=x³-3x，

求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

该函数过点（-3，0），（0，0），（ 3，0），且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，

又由于对任意的x∈R都有f（

3

+x）=-f（x），

∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

3

，

所以函数f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|

解得：a≥1或a≤0．

故答案为：a≥1或a≤0．