问题 填空题
设正实数a,b满足等式2a+b=1且有2
ab
-4a2-b2≤t-
1
2
恒成立,则实数t的取值范围是______.
答案

∵a>0,b>0,2a+b=1,

∴4a2+b2=1-4ab,

∴2

ab
-4a2-b2≤t-
1
2
恒成立可转化为:t≥2
ab
-(1-4ab)+
1
2
恒成立;

又2

ab
-(1-4ab)+
1
2
=4ab+2
ab
-
1
2
=4 (
ab
+
1
4
2
-
3
4

∴t≥[4(

ab
+
1
4
)2-
3
4
max(a>0,b>0,2a+b=1),

由基本不等式可得:1=2a+b≥2

2ab
,故
ab
2
4
(当且仅当2a=b=
1
2
时取“=”),

[4(

ab
+
1
4
)2-
3
4
]max=4(
2
4
+
1
4
)
2
-
3
4
=
3+2
2
4
-
3
4
=
2
2

故答案为:t≥

2
2

单项选择题
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