问题
问答题
设A，B为同阶方阵．
(1) 如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3) 当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
答案
参考答案：(1) 若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故
|λE-B|=|λE-P-1AP|=|P-1λEP-P-1AP|
=|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A|．
(2) 令
，那么|λE-A|=λ2=|λE-B}．
但A，B不相似，否则，存在逆矩阵P，使P-1AP=B=0，从而A=POP-1=0．矛盾．亦可从r(A)=1，r(B)=0可知A与B不相似．
(3) 由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn则有
A相似于
B也相似于
即存在可逆矩阵P，Q使
于是(PQ-1)-1A(PQ-1)=B；由PQ-1为可逆矩阵知，A与B相似．
解析：[考点提示] 可逆矩阵的证明．