问题
解答题
设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ1λ2∈[-2，1]总有|f（λ1）-f（λ2）|＜[（m+2）a+1]e3恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由．
答案
（1）f'（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x2+ax+2a-3）e2-x
f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x 令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a
由于x=-1是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠4
①当a＜4时，x2＞x1，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）
的单调减区间．…（4分）
②当a＞4时，x2＜x1，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，
f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e3，e4]…（8分）
假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e3＞e4-（a-2）e3恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
则有
，解得g(-2)≥0 g(-1)≥0
，即m≤-4-em≤-
(e+7)1 2 m≤-4-e
故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分）
