问题
解答题
| 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值； （2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围； （3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln
|
答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
b=-12时，由f/(x)=2x-
=12 x+1
=0，得x=2（x=-3舍去），2x2+2x-12 x+1
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）min=f（2）=4-12ln3
（2）由题意f/(x)=2x+
=b x+1
=0在（-1，+∞）有两个不等实根，2x2+2x+b x+1
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则
，解之得0＜b＜△=4-8b＞0 g(-1)＞0
；1 2
（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则h/(x)=3x2-2x+
=1 x+1
，3x3+(x-1)2 x+1
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．
取x=
∈(0，+∞)，则有ln(1 n
+1)＞1 n
-1 n2
恒成立．1 n3
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(
+1)＞1 n
-1 n2
恒成立1 n3