（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），

b=-12时，由f/(x)=2x-

12

x+1

=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=-3舍去），

当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，

所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，

所以f（x）_min=f（2）=4-12ln3

（2）由题意f/(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，

设g（x）=2x²+2x+b，则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

；

（3）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）

则h/(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，

∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0

所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，

又h（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0

即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．

取x=

1

n

∈(0，+∞)，则有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立