问题
解答题
若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数； （II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式； （III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）． |
答案
（I）证明：对任意x1，x2∈R，当a＜0，
有[f（x1）+f（x2）]-2f（
）=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a（x1+x2 2
）2+b（x1+x2 2
）+c]=ax12+ax22-x1+x2 2
a（x12+x22+2x1x2）=1 2
a（x1-x2）2 （3分）1 2
∴当a＜0时，f（x1）+f（x2）≤2f（
），即x1+x2 2
≤f（f(x1)+f(x2) 2
）x1+x2 2
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．
（2）因为|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，
所以
，-1≤a+b+c≤1 -2≤4a+2b+c≤2 -3≤9a+3b+c≤3
又f（4）=16a+4b+c
设16a+4b+c=x（a+b+c）+y（4a+2b+c）+z（9a+3b+c）
所以x+4y+9z=16 x+2y+3z=4 x+y+z=1
解得x=1，y=-3，z=3
所以f（4）=f（1）-3f（2）+3f（3）
所以-16≤f（4）≤16
所以f（4）的最大值为16
当
取得a+b+c=1 4a+2b+c=-2 9a+3b+c=3
解得a=4，b=-15，c=12，
（III）因为p＜m＜n＜q，p+q=m+n，y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤2f（p+q）=2f（m+n）
f（m）+f（n））≤2f（m+n）
因为y=f（x）为凸函数，
所以f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．
