已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+3i．(a∈R)（1）求方程的另

问题解答题

已知关于t的方程t²-2t+a=0的一个根为1+

i．(a∈R)
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）由题设知一根为1-

i，

∴a=(1+

i)(1-

i)=4．

（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），

∵log₄（x²+4）的最小值为1，

∴m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，

即2（1-m）k+m²-1≤0对k∈[-1，2]恒成立，

设g（k）=2（1-m）k+m²-1

则

g(-1)=m2+2m-3≤0

g(2)=m2-4m+3≤0

解得

-3≤m≤1

1≤m≤3

∴m=1，

因此存在m=1满足条件．