参考答案：[证明一] 用反证法
若f(x)在(0，1)内没有零点，由f(x)在[0，1]上连续可知f(x)在(0，1)内或者恒正即f(x)＞0，或者恒负即f(x)＜0，显然这与[*]矛盾。
若f(x)在(0，1)内只有一个零点x₀，这时只有两种情况：
[*]
在前一种情形下，当0＜x＜x₀时同时有x-x₀＜0与f(x)＜0，而当x₀＜x＜1时同时有x-x₀＞0与f(z)＞0，从而
[*]
这与[*]矛盾，在后一种情形下也可类似得出矛盾。
由此可见f(x)在(0，1)内至少有两个不同的零点，即存在满足0＜ξ＜η＜1的ξ与η，使得f(ξ)=f(η)=0成立。
[证明二] 若在[0，1]上f(x)[*]0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且
[*]
则F(0)=F(1)=0，又由F(x)在[0，1]上可导即知F’(x)=f(x)，因此
[*]
由于F(x)为[0，1]上的连续函数，且[*]可知必定存在一点c∈(0，1)，使F(c)=0，否则[*]，与(*)式矛盾。
在[0，c]，[c，1]上分别对F(x)应用罗尔定理，可知必定存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得
F’(ξ)=f(ξ)=0，F’(η)=f(η)=0