问题
问答题
确定方程1+lnx=kx的根的个数，其中常数k可取任何实数。
答案
参考答案：引入函数F(x)=1+lnx-kx，则对于任何实数k，函数F(x)都在区间(0，+∞)内可导，且[*]
由此可见，当k≤0时对任何x＞0都有F’(x)＞0，这表明当k≤0时函数F(x)在区间(0，+∞)内单调增加，又因[*]，故当k≤0时函数F(x)在区间(0，+∞)内有唯一零点，即当k≤0时方程1+lnx=kx有唯一根，特别，当k=0时方程1+lnx=kx变成方程1+lnx=0，易见它有唯一根。[*]
当k＞0时，由于
[*]
从而函数F(x)在区间[*]内单调增加，在区间[*]内单调减少，在点[*]处取得最大值[*]
当k＞1时，由于函数F(x)的最大值-lnk＜0，故这时方程1+lnx=kx无根；当k=1时，由于函数F(x)的最大值-lnk=0，故这时方程1+lnx=kx有唯一根x=1；而当0＜k＜1时，由于函数F(x)的最大值-lnk＞0，故这时方程1+lnx=kx有两个根x1与x2，且[*]与[*]
