问题
解答题
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.
(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;
(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.
答案
解(I)充分性:若m2+n2=0,则m=n=0,∴f(x)=x|x|,
又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数.
必要性:若f(x)为奇函数,∵x∈R,
∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|
由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.
∴f(x)为奇函数,则m=n=0,即m2+n2=0.
∴m2+n2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
(Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立;
若x∈(0,1]时,原不等式可变形为|x+m|<-
.即-x+n x
<m<-x-n x
.n x
∴只需对x∈(0,1],满足m<(-x-
)min①-4 x m>(-x+
)max②-4 x
对①式f1(x)=-x+
在(0,1]上单调递减.4 x
∴m<f1(1)=3.③
对②式,设f&2(x)=-x-
,根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增,4 x
∴f2(x)max=f(1).
∴m>f2(1)=-5.④
由③④知-5<m<3.