问题 解答题

已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.

(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;

(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.

答案

解(I)充分性:若m2+n2=0,则m=n=0,∴f(x)=x|x|,

又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数.

必要性:若f(x)为奇函数,∵x∈R,

∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|

由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.

∴f(x)为奇函数,则m=n=0,即m2+n2=0.

∴m2+n2=0是f(x)为奇函数的充要条件.

(Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立;

若x∈(0,1]时,原不等式可变形为|x+m|<-

n
x
.即-x+
n
x
<m<-x-
n
x

∴只需对x∈(0,1],满足

m<(-x-
-4
x
)
min
m>(-x+
-4
x
)
max

对①式f1(x)=-x+

4
x
在(0,1]上单调递减.

∴m<f1(1)=3.③

对②式,设f&2(x)=-x-

4
x
,根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增,

∴f2(x)max=f(1).

∴m>f2(1)=-5.④

由③④知-5<m<3.

单项选择题
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