问题
解答题
已知函数f(x)=a-
（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立． |
答案
（1）∵函数f(x)=a-
，(a∈R)的定义域为R2 2x+1
根据定义在R上奇函数图象必过原点
故f(0)=a-
=02 20+1
解得a=1；
证明：（2）由（1）可得f(x)=1-
=2 2x+1 2x -1 2x +1
任取R上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
则f（x1）-f（x2）=
-2x1-1 2x1+1 2x2-1 2x2+1
=(2x1-1)•(2x2+1)-(2x2-1)•(2x1+1) (2x1+1)•(2x2+1)
=(2x+x2-2x2+2x1-1)-(2x+x2+2x2-2x1-1) (2x1+1)•(2x2+1)
=
＜02(2x1-2x2) (2x1+1)•(2x2+1)
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函数；
（3）由（1）（2）得，
当x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x=0时，f（x）=0，此时xf（x）=0
当x＞0时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
故xf（x）≥0恒成立
