问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，tSn-（2t+1）Sn-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2． （Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列； （Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t）数列{bn}满足b1=1，bn=f（
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若t=1，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较an和Tn的大小关系． |
答案
（Ⅰ）当n≥2时，tSn-（2t+1）Sn-1=t ①
tSn+1-（2t+1）Sn=t ②
②-①得：tan+1-（2t+1）an=0，
∵t＞0∴an+1=
an，2t+1 t
又当n=2时，由a1=1，t（a2+a1）-（2t+1）a1=t，得a2=2t+1 t
由于an≠0，
≠0，所以对n∈N*总有2t+1 t
=an+1 an
，2t+1 t
即数列{an}是首项为1，公比为
的等比数列． （8分）2t+1 t
（Ⅱ）由（1）知f（t）=
，则bn=f（2t+1 t
）=2+bn-1，1 bn-1
又b1=1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故bn=2n-1，n∈N* （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，Tn=n+
×2=n2．n(n-1) 2
若t=1，则等比数列{an}是首项为1，公比为3，所以an=3n-1，
则Tn-an=n2-3n-1，
当n=1时，Tn-an=n2-3n-1=1-1=0，此时Tn=an．
当n=2时，Tn-an=n2-3n-1=22-3=1＞0，此时Tn＞an．
当n=3时，Tn-an=n2-3n-1=32-32=0，此时Tn=an．
当n=4时，Tn-an=n2-3n-1=42-33=-11＜0，此时Tn＜an．
当n＞4时，Tn-an=n2-3n-1＜0，此时恒有Tn＜an．
综上当n=1或3时，Tn=an，当n=2时，Tn＞an，当n≥4时，Tn＜an．