已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等

问题解答题

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首项为1，公差为1的等差数列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列（d≠0）．

（1）若a₂₀=40，求d；

（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

答案

（1）a₁₀=1+9=10．a₂₀=10+10d=40，∴d=3．

（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），

a₃₀=10[(d+

)2+

]，

当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a₃₀∈[7.5，+∞）

（3）所给数列可推广为无穷数列{a_n]，

其中a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列，

当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列．

研究的问题可以是：试写出a_10（n+1）关于d的关系式，并求a_10（n+1）的取值范围．

研究的结论可以是：由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），

依此类推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10×

1-dn+1

1-d

，d≠1

10(n+1)，d=1

．

当d＞0时，a_10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．