（1）由于二次函数函数f（x）=x²+（m-1）x+m 的对称轴为 x=

1-m

2

，且函数为偶函数，故它的对称轴为y轴，故有

1-m

2

=0，m=1．

（2）由于函数g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，

①当

1

4

≤

m

≤4时，即

1

16

≤m≤16时，由基本不等式可得g（x）的最小值为2

m

+m-1，当且仅当x=

m

时，取得最小值．

②当

m

＞4，即 m＞16时，由于函数g（x）在[

1

4

，4]上是减函数，故g（x）的最小值为g（4）=3+

5

4

m．

③当m＜

1

16

时，函数g（x）在[

1

4

，4]上是增函数，故g（x）的最小值为g（

1

4

）=5m-

3

4

．

综上可得，g_min（x）=

5m- 3 4  ， m＜ 1 16 2 m +m-1 ， 1 16 ≤m≤16 3+ 5 4 m ，m≥16

．