设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2．且1，34an，Sn（n∈N*）成等差

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2．且1，

a_n，S_n（n∈N^*）成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式
（II）求数列{na_n}的前n项和T_n．

答案

（I）证明：∵1，

a_n，S_n成等差数列

∴

an=sn+1，…（2分）

∴

an-1=sn-1+1，n≥2

∴

an-

an-1=an

∴a_n=3a_n-1，n≥2

又a₁=2

∴数列{a_n}是一个首项为2公比为3的等比数列…（6分）

∴an=2•3n-1 …（7分）

（II）∵nan=2n•3n-1

∴Tn=2+4•3+6•32+…+(2n-1)•3n-2+2n•3^n-1 ①

3T_n=2•3+4•3²+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ ②…（10分）

①-②得：

-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ=

2(1-3n)

1-3

-2n•3n

=3ⁿ-1-2n•3ⁿ

∴Tn=

(2n-1)•3n+1

…（14分）