问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当a∈[-2，
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）当-2≤a＜
时，由f'（x）=0得x1=1 4
，x2=1- 1-4a 2
．（2分）1+ 1-4a 2
显然-1≤x1＜
，1 2
＜x2≤2，∴x1∉[1 2
，2]，x2∈[1 2
，2]．1 2
又f'（x）=-(x-x1)(x-x2) x2
当
≤x≤x2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；1 2
当x2＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）max=f（x2）=
-2a 1+ 1-4a
+ln1+ 1-4a 2 1+ 1-4a 2
=-
+ln1-4a
．（6分）1+ 1-4a 2
（2）存在a∈(-∞，
]符合条件7 4
因为g（x）=[f（x）-lnx]•x2=ax-x3
不妨设任意不同两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），其中x1＜x2
则k=
=y1-y2 x1-x2
=a-(a(x1-x2)+(
-x 32
)x 31 x1-x2
+x1x2+x 21
)（10分）x 22
由k≤1知：a≤1+（x12+x1x2+x22）
又
≤1 4
≤4故a≤x 22 7 4
故存在a≤
符合条件．（12分）7 4