（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：

任取1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

∵1＜x₁＜x₂，∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

＞0

∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1

∴f（x₁）-f（x₂）＞0

∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；

（2）h（x）=g（2^x+2）+kx=log₂（2^x+1）+kx，定义域为R

假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）-h（-x）=0恒成立

即log₂（2^x+1）+kx-log₂（2^-x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0

∴k=-

1

2

使得函数h（x）为偶函数．

（3）首先函数F（x）的定义域是（1，p）

F（x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]=log₂[-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

]，显然

p-1

2

＜

p

2

①当

p-1

2

≤1，即1＜p≤3时，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，

∴f（x）＜1+log₂（p-1），函数f（x）的值域为（-∞，log₂（p-1））；

②当1＜

p-1

2

＜

p

2

，即p＞3时，t=-（x-

p-1

2

^）2+

(p+1)2

4

在（1，

p-1

2

）上单调递增，在（

p-1

2

，p）上单调递减，即0＜t≤

(p+1)2

4

，

∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．

综上：当1＜p≤3时，函数f（x）的值域为（-∞，log₂（p-1））；当p＞3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．