设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，

∵离心率e=

c

a

=2，

∴c=2a，c²=4a²，

又b²+a²=c²，

∴b²=c²-a²=3a²，

∴b=

3

a，

当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为y=±

b

a

x=±

3

x，

而y=

3

x的倾斜角为

π

3

，y=-

3

x的倾斜角为

2π

3

，

∴双曲线的两条渐近线所成的锐角是

π

3

=60°；

当双曲线的焦点在y轴时，同理可得，双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；

故选：C．